FACTORIZACIÓN POR ASPA SIMPLE

 Método de Aspa Simple
Es un método  que permite factorizar trinomios de la forma: ax² + bxy + c
         18x² -15x -187
➊ Descompón en sus factores los números de los extremos del trinomio

                              18x² - 15x -187
                                6x..........   17
                                3x............-11

➋ Esos números que has puesto multiplicalos en forma cruzada (6x)(- 11) y (3x)(17); y pon los resultado al costado y súmalos, así:

                                    18x² - 15x -187
                                      6x...............17 →   51x
                                      3x..............-11 → - 66x
                                       ------------------------------
                                          ......................- 15x

➌ Fíjate que la "suma" debe ser igual al 2do termino del trinomio (-15x). Si no lo es, entonces debes cambiar los números que has puestos, o sino cambia sus signos o hacer ambas cosas a la vez. En este caso nos dio el número buscado


➍ Agrupa dentro de un paréntesis los números unidos por los [……….], es decir agrupa como factores los números que están en forma horizontal

                                                (6x + 17) (3x - 11)


Este es el resultado               ==========================
                                            18x² - 17x -187 = (6x + 17) (3x - 11)
                                            ==========================

ahora veamos en vídeo

Desarrolla los siguientes ejercicios:

                    §   x² - 5x - 6             

                      4x² – 12xy + 5y²

                x² + 7x + 12  

              §   6x² - 7xy – 20y²

 §   x² + 5x + 6    

     12x² - 8xy – 15y²

               x² – 2x - 15              

               X² + 8xy + 7y²  

               x² + 2xy – 35y²

FACTORIZACIÓN DE TRINOMIO CUADRADO PERFECTO

     

Reconocemos si    25x² – 40xy + 16y²  es un trinomio cuadrado perfecto; para lo cual sacamos las raíces cuadrados de sus términos extremos

raíz Cuadrada de   25x²       5x

raíz cuadrada de 16y²         4y 

Luego multiplicamos éstas raíces ( 5x ) ( 4y) = 20 xy 

multiplicamos éste resultado por 2 y tenemos 2 ( 20 xy ) = 40 xy 


como éste resultado es igual al segundo término del trinomio dado, 


concluimos que se trata de un TRINOMIO CUADRADO PERFECTO;


 luego su factorización está dada por la suma o diferencia de las raíces elevadas al cuadrado.

Será suma si el segundo signo del trinomio es positivo

Será diferencia si el segundo signo del trinomio es negativo. 

Observa en el video la aplicación de la fórmula

Desarrolla los siguientes ejercicios

25x² – 40xy + 16y²

^{x2 + 10x + 25}

49x² – 14x + 1

36n² + 48xy + 16y²

36x² + 84xy + 49y²

FACTORIZACIÓN DE BINOMIOS

Para factorizar binomios utilizamos los productos notables estudiados anteriormente

                          Diferencia de cuadrados      a² – b² = (a + b) (a - b)

                          Suma de Cubos                  a³ + b³ = (a + b) (a² – ab + b²)

                          Diferencia de Cubos           a³ – b³ = (a - b)(a² + ab + b²)

Diferencia de Cuadrados

§   x² – y² =  (x + y) (x - y)   (por diferencia de cuadrados)

•       4x²   – 9 (diferencia de cuadrados) 

4x² – 9 =

(2x)   3              sacando la raiz cuadrada de cada término

(2x + 3)(2x - 3) expresamos las raíces como el producto de su suma por su diferencia

y tenemos

4x² – 9 = (2x + 3)(2x - 3)        (Por diferencia de cuadrados) 


Veamos el vídeo ahora

 Suma de cubos

       27x³ + 8       

27x³ + 8 =

3x        2   sacando la raíz cúbica de cada término 

Aplicamos la fórmula

Suma de las raíces cúbicas por el cuadrado de la primera raíz ( - ) el producto de la primera por la segunda + el cuadrado de la segunda raíz y tenemos

  (3x + 2) [(3x)² – (3x)(2) + (2)²] 

desarrollando los paréntesis  (3x + 2) (9x² – 6x + 4)

tenemos ahora la factorización  

27x³ + 8 = (3x + 2) (9x² – 6x + 4)
Veamos ahora en vídeo

Diferencia de cubos

§   x³ – y³ 

  x       y       sacando la raíz cúbica de cada término

aplicamos la fórmula: 

  Diferencia de las raices cúbicas por elcuadrado de la primera raíz + el producto de la primera por la segunda + el cuadrado de la segunda raíz y tenemos

   x³ – y³ = (x - y) (x² + xy + y²)

Y ahora también veremos el video

Desarrolla los siguientes ejercicios

FACTORIZAR         

 c² – b

 64  –  x³ 

                                                                  64x² – 25 

                                                                 25m² – 36n²

FACTOR COMÚN POR AGRUPACIÓN DE TÉRMINOS

Hay Polinomios en los que NO TODOS los términos  tienen la misma parte variable, en éstos casos se agrupa los términos que si  tienen  variables comunes y se hallan los respectivos factores comunes; como en los casos anteriores

Ejemplo

.  a²x + 5m²x – a²y² – 5m² – y²             Observa que no todos los términos tienen variables común:

Para factorizar se agrupa los términos que tienen parte variable común.

 Entonces:

                       a²x + 5m²x   –  a²y² – 5m²y²

los agrupamos y escribimos en paréntesis

         a²x + 5m²x   –  a²y² – 5m²y² 

            ^{Tienen             Tienen en común}              

       ^{en común  x}           y^{2 y se puede sacar el ( - )}

          (a²x + 5m²x)   –  (a²y² + 5m²y²)

^{sacamos factor común monomio y nos queda}

              x(a² + 5m²) – y²(a² + 5m²)
ahora sacamos factor común polinomio
              (a² + 5m²) (x – y²) y tenemos finalmente el polinomio factorizado.


Veamos ahora el vídeo donde te aclarará todas tus dudas





Desarrolla los ejercicios y  COMPLETA EL CUADRO

POLINOMIO	FACTORIZACIÓN POR AGRUPACIÓN
m2y2 – 7xy2 + m2z2 – 7xz2
5a – 3b – 3bc5 + 5ac5
6x3 – 1 – x2 + 6x
7mnx2 – 5y2 – 5x2 + 7mny2
d2m –13c2n2 – d2n2 +13c2m

               

FACTOR COMÚN POLINOMIO

Factor común polinomio es un polinomio que se repite como factor en cada uno de los términos de un polinomio.

Ejemplo

     2x²y(m + n) – 3z⁴(m + n) + 5(m + n)

     el polinomio (m + n) se repite en todos los términos; cual viene a ser el factor común Polinomio al sacarlo y dividir cada término del polinomio entre el factor común queda:

(m + n) (2x²y – 3z⁴ + 5)

§   P(x, y) = (x² + y²)x – (x² + y²)y – 2(x² + y²)

El polinomio que se repite es:( x² + y²⁾

Queda:              (x² + y²) (x – y - 2)

AHORA COMPLETA EL CUADRO

POLINOMIO	FACTORIZACIÓN POLINOMIO COMÚN
(a - 2)x2 – (a – 2)
y2(x + y - z) + m2(x + y - z)
x4(2ª – 5b) + x(2a – 5b) – 5(2a - 5b)
a(p + q) + b(p + q) + c(p + q)
a(a + b - c) + c(a + b - c) + b(a + b - c)

FACTORIZACIÓN

MÉTODO DE FACTORIZACIÓN: 

Repasemos nuevamente el tema anterior; y ahora tienes unos ejercicios para desarrollar

1. FACTOR COMÚN MONOMIO

    Factor común monomio es el monomio cuyo coeficiente es el máximo común divisor de los coeficientes del polinomio dado y cuya parte variable esta formada por las variables comunes con su menor exponente.

     El otro factor se obtiene dividiendo cada término del polinomio dado entre el factor común

Ejemplo:

   Factorizar:

  25x⁴ – 30x³ + 5x²

Primero obtenemos el factor común; para lo cual hacemos lo siguiente:

      Se halla el máximo común divisor de los coeficientes     25– 30–  5      5                                                                                

                                                                                         5 -   6  -  1
                 M.C.D. (25; 30; 5) = 5

      Se sacan las variables comunes de todos los términos     .x⁴   x³      x²

      Se escoge el que tiene menor exponente       x²

      ^{Así hemos obtenido el factor común que es} 

                                                                   5x²

Luego obtenemos el otro factor: 

     ^{Se divide cada término del polinomio dado entre el factor común;} 

                   25x^{4  entre}   5x^{2  =}  5x²

               – 30x^{3   entre}    5x^{2 =}  – 6x

                 + 5x^{2  entre}   5x^{2 =}  + 1

^{El polinomio}   25x⁴ – 30x³ + 5x^{2  factorizado es igual a}   5x²(5x² – 6x + 1)

  25x⁴ – 30x³ + 5x^{2   =}  5x²(5x² – 6x + 1)

EJERCICIOS:

 COMPLETA EL CUADRO

POLINOMIO	FACTORIZACIÓN MONOMIO COMÚN
P(x, y) = 15x + 25y
P(x) = abx2 – acx
P(x) = 2x2 – 4x + 6x3
P(x, y) = x2y3 – x4y + x3y3
P(x, y) = 5x3y4 – 15x4y5 + 2ax5y5
P(x) = abx2 – ax3 + bx
P(x, y) = x4 – x3 + x
P(x) = 2xn + xn+1 + xn+2
P(x) = 3xn + 6xn-2 – 12xn-1
12nxayb + 4nxa-1yb-2 – 8nxa+1yb+2

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