Productos Notables

Muchas veces el realizar multiplicaciones de polinomios nos parece muy largo y a veces hasta nos resulta difícil; pero vamos ahora a ver; que podemos realizar multiplicaciones sin necesidad de hacer las operaciones; las podemos realizar siguiendo unas reglas; que es como si estubieras siguiendo una receta para preparar el plato que mas te gusta ; y ésto va a ser posible gracias a los productos notables.
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Productos notables es el nombre que reciben aquellas multiplicaciones con expresiones algebraicas cuyo resultado puede ser escrito sin necesidad de efectuar la operación.

Veamos entonces el primer Producto Notable
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Cuadrado de un Binomio En el cuadrado de uin Binomio tenemos dos casos: Cuadrado de una Suma y Cuadrado de una Diferencia.
Cuadrado de una Suma . Veamos que la manera de realizar éste producto notable es completamente sencilla; lo único que tienes que hacer es seguir la fórmula:
                   (a+b)² = a² + 2ab + b²
   Interpretándo la fórmula  tenemos que el Cuadrado de una Suma es igual a:

• al  Cuadrado del primer término,
• más el doble producto del primero por el segundo
• más el cuadrado del segundo término

Ejemplo:

1                ( X + 3 )²      Encontramos primero los términos:

        Cuadrado del Primero    X²
        el doble producto del primero por el segundo,  2 ( x) ( 3) = 6x
        el cuadrado del segundo término   3² = 9
Aplicando la fórmula  tendríamos
                                                                     ( X + 3 )² =   X² + 6x + 9

Cuadrado de una Diferencia Trabajar con el cuadrado de una diferencia es similar al cuadrado de una suma con la única diferencia de que el signo del segundo término va a ser menos; veamos ahora la fórmula
                                                                    (a-b)² = a² - 2ab + b²
Interpretándo la fórmula
Cuadrado de una Diferencia es igual
al  Cuadrado del primer término,                                                     
     menos el doble producto del primero por el segundo,
     más el cuadrado del segundo término
Ejemplo: Trabajaremos con el mismo ejemplo anterior ; para que veas la similitud
                   ( X - 3 )²       Encontramos primero los términos:
                  Cuadrado del Primero    X²
                  el doble producto del primero por el segundo, 2 ( x) ( 3) =   6x
                     el cuadrado del segundo término   3² = 9
Aplicando la fórmula ;  tendríamos       ( X - 3 )²=   X²- 6x + 9

Veamos ahora otro producto Notable
LA SUMA POR LA DIFERENCIA DE DOS TÉRMINOS
Éste producto Notable lo hemos visto anteriormente en clase cuando trabajamos números reales; pero vamos a recordarlo; tenemos la fórmula

                               ( a + b) ( a - b) =   a² - b²

Interpretándo la fórmula
El Producto de la Suma por la Diferencia de dos términos es igual a la diferencia de sus cuadrados.
Ejemplo:
( 5x + 2) ( 5x - 2) =  ( 5x)² - 2²=   25x² - 4 
 ingresa a éste link y encontrarás la nota técnica con los ejercicios a desarrollar
https://sites.google.com/site/hiljimar1miforo/my-forms

y ahora como siempre verás el video

Método de Horner

En clase no hemos visto éste método; pero es necesario que lo conozcan; es un método para cualquier tipo de división; con un video te será más fácil de entender ; he encontrado el video de Abel Ortega; miralo cuantas veces te sea necesario hasta que aprendas el método; luego desarrolla los ejercicios propuestos en clase.

                                         

Relax

Te cansaste de tanta Matemática: Ahora si verás un video para relajarte: espero que te guste.



Te gustó; después de la evaluación verás la siguiente parte

Tarea Lunes 11 de Octubre

Lee los artículos de la blog relacionados con la multiplicación y División de Polinomios y desarrolla los ejercicios entregados en clase. ingresa a Tareas para la casa en  https://sites.google.com/site/hiljimar1miforo 

Teorema del Resto

Este teorema nos permite averiguar el resto de la división de un polinomio dividendo;P(x) entre otro de la forma (ax + b)llamado divisor  , sin necesidad de efectuar esta división.

Procedimiento:

1. Igualamos a cero el polinomio divisor; para encontrar el valor de la variable.
2. Reemplazamos "x" en el polinomio dividendo por el valor hallado anteriormente
3. Realizamos las operaciones y el resultado es el "RESTO" pedido 

   Por ejemplo: Obtendremos el resto de la división entre 
                                                               P_(x) = 3x⁴ - 5x² + 3x – 20  y Q _(x)  = ( x-2) 

• Del Polinomio Divisor  Q _(x)  = ( x-2) deducimos   x : es decir 

                                   igualamos x-2 a cero y vamos a tener    X - 2 = 0  

                                   de donde ; desarrollando la ecuación vamos a tener   x  = 2

• el resto se obtiene; según el teorema reemplazando el valor  de x; ( 2 ) en el polinomio dividendo es decir en P_(x) y desarrollando las operaciones indicadas.:                                                          P_(x) = 3 x ⁴  -  5  x ²   + 3   x  – 20       
                                                         P₍₂₎ = 3( 2 )⁴ – 5( 2 )² + 3( 2 ) – 20 = 14
  El resto obtenido es 14.

también con este teorama podemos decir si un polinomio P(x) es divisible por x – a si y sólo si; a es una raíz del polinomio, es decir, si y sólo si P(a) = 0.;

Así, por ejemplo,Veamos si el polinomio  P(x) = x³ + 3x² – 7x – 3  es divisible entre x – 2:
Hagamos lo siguiente:

• Calculamos primero el valor de X y lo reemplazamos en el polinomio dividendo
• Realizamos las operaciones indicadas
• Obtenemos el resto; si el resto es cero el polinomio P(x) es divisible por (  x-2 ); si el resto es diferente a cero, no es divisible

P(2) = (2)³ + 3 · (2)² – 7 · (2) – 3 = 3

Como el resto es 3 ; se deduce que esa división no es exacta y, por tanto, x – 2 no es un divisor de P(x).

ahora vamos a observar dos videos 

En este video observarás con un ejemplo los tres métodos estudiados:

División de Polinomios

Para dividir Polinomios podemos dividir por  varios métodos; entre ellos tenemos:

•  Método Clásico
• Método de Ruffini
• Teorema del Resto

 Vamos a ir viendo uno por uno 


MÉTODO CLÁSICO 
Dados dos polinomios  P_(x) = 5x³ + 7x² – 3 ; llamado dividendo y  Q_(x) = x² + 2x – 1: llamado divisor y de menor grado que el dividendo; al dividirlos obtendremos otros dos polinomios: C_(x) llamado cociente y el otro R_(x) llamado residuo o Resto ; de tal forma que _P(x) = ( Q_(x) )( C_(x)+ R _(x) + ) igual que en una división de naturales.
Ahora vamos a dividir los dos polinomios  P_(x) :  Q_(x);
                                                  ( 5x³ + 7x² – 3): (x² + 2x – 1)

• _{Primero ordenamos y completamos con ceros los polinomio dividendo y diviso} 

                                     (5x³ + 7x²+ 0x – 3): (x² + 2x – 1₎

• Luego los colocamos igual que en una divisisón de naturales 

 5 x³ + 7 x² + 0x – 3

                                                                                 
             _{y se procede de la misma manera que en los naturales}

• Se divide el primer término del dividendo entre el primero del divisor, primero coeficiente entre coeficiente y luego la parte litral entre la parte literal; recordando que  para dividir  bases iguales se restan los exponentes ;                        

                                                                 5 x³ : x²  = 5 x

              y asi tenemos el primer término del cociente

• Y luego como en una división normal,  se multiplica dicho término por cada uno de los términos del divisor y se coloca debajo del dividendo con los signos contrarios, teniendo cuidado de colocar los terminos semejantes formando columnas

                                5 x³ + 7 x² + 0x – 3              
                               -5 x³ -10 x² + 5x         5x

• Se reducen los  polinomios resultantes dando como resultado un polinomio de grado menor al inicial

                                   

                                      5 x³ +  7 x² + 0x – 3              
                                     -5 x³ - 10 x² + 5x         5x

                                   _____________

                                              -   3 x² + 5x

• Se repite el proceso; bajando los siguientes términos del dividendo : hasta que el resto ya no se pueda dividir entre el divisor por ser de menor grado.

Observa el ejemplo en el cual se han seguido los pasos anteriores hasta terminar la división

   Veamos un video para que refuerzes tu aprendizaje




 Ahora como para que practiques; divide  los siguientes polinomios 

• P(x) :  Q(x)  donde  P(x) = 3x⁵ + 2x³ − x − 6   ;      Q(x) = 3x² − 2x + 1 

• P(x) :  Q(x)  donde  P(x) = x⁵ + 2x³ − x  + 8   ;      Q(x) =  x² − 2x + 1 

                                               

                                         

Método de Ruffini

Vamos ahora a realizar una división por el Método de Ruffini; con la ayuda de un ejemplo

                                      Dividir : (2x⁴ − 3x² + 1 ) : (x − 2)

• Se comprueba que el polinomio divisor sea de la forma  ( x + a )  ó ( x - a )

                           Como el divisor es ( x - 2 ) está dentro de la forma requerida

• Se ordenan los Polinomios de mayor a menor y se completan con ceros los términos faltantes

                               2 x⁴+  0x³  − 3x² + 0 x + 1

• Se escriben los coeficientes del polinomio dividendo en una línea

                                                    2       0        -3      0       1

• Trazamos una pequeña línea vertical a la izquierda del coeficiente del término de mayor grado

                                                    2       0        -3       0       1

• Trazamos luego una línea horizontal  debajo de los coeficientes 

                                                
                                                     2      0        -3      0       1

                                                  _______________________

• Ahora en la intersección izquierda de las dos líneas escribimos el opuesto del término independiente del divisor  bajamos el primer coeficiente de la izquierda y lo colocamos debajo de la línea        

                                                            2       0        -3       0       1
                                                  2_________________________
                                                           2

• Multiplicamos éste coeficiente por el divisor y lo colocamos debajo del siguiente término.y sumamos

                                                             2      0        -3      0      1
                                                     2             4 
                                                         _______________________
                                                           2       4

• Repetimos el proceso con todos los coeficientes

                                                            2       0        -3       0       1
                                                     2              4        8       10    20
                                                         _______________________
                                                           2        4         5      10    21

• El último número es el residuo ( 21)
• el cociente resultante es un grado menor que el polinomio dividendo; asi tenemos que los coeficientes obtenidos ; con el método de Ruffini; se completan con un grado menor en  la variable para encontrar el polinomio cociente.

                                  (2x⁴ − 3x² + 1 ) : (x − 3) = 2 x³ + 4 x² + 5x +10 

• Observa éste video para que clarifiques tus ideas

• Ahora desarrolla el siguiente ejercicio:( x⁴ − 3x² + 2 ) : (x − 3)

 

Multiplicación de Polinomios

                    
Otra forma de multiplicar polinomios que es  más práctica es ;  completar y ordenar los polinomios con respecto a una letra (variable) se escriben los polinomios uno debajo del otro y se multiplican cada uno de los términos de un polinomio por cada uno de los términos del otro; y  los resultados parciales  se escriben  también uno debajo del otro, formando los términos semejantes columnas, para poder reducirlos.

Es en realidad como si estubieras multiplicando un número de varias cifras por un número de dos cifras

Ejemplo: trabajaremos con el mismo ejemplo anterior:

Hallar el Producto de  P_(x) = -2x³ + 7x - 5   y    Q_(x) =   x ² + 3

 - 2x³ + 7x - 5  

  __x² + 3___

- 2 x⁵ +7 x³ – 5 x²

   ___  - 6x³             + 21 x – 15

                                                 - 2 x⁵ + x³ – 5 x²+ 21 x – 15

 EJERCICIOS: Hallar el Producto de 

1.      M_(x,y) = 8x⁴ y⁶  ;  N_(x,y) =  -4 x ²y

2.      P_(x) = 3x³ ;    Q_(x) =   5x ⁷ + 9x⁵ – 3x³ + 2x

3.      M_(x) = -4x⁵ ;    Q_(x) =  3 x ² + 5x ⁴ – 7x ⁶ + 3x⁸

4.      P_(x) = -2x³ + 7x - 5   ;    Q_(x) =   x ² + 3

5.      P_(x) = -2x + 3  ;   Q_(x) =   7x  + 4

6.      P_(x) = 2x²- 4x + 21   ;   Q_(x) =   x  - 8

7.      R_(a,b) = a² + ab +b²   ;   Q_(a,b) =   5a ² – 5b²

8.      S_(a) = a + 2 ;    Q_(a) =   a + 3 ; R_(a) = a + 5

9.      (y + 1 ) ( y ² – y + 1 )

10.  ( x . 2 ) ( x^m+1 – 3 x^m+2 + x^m)

Tarea para sábado 02 de Octubre

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alli lee la barra lateral izquierda y encontrarás las tareas a realizar

OPERACIONES CON POLINOMIOS

ADICIÓN Y SUSTRACCIÓN DE POLINOMIOS

La Adición y la sustracción se realizan con Polinomios semejantes.
 Debes:

• Ordenar los polinomios 
• Escribir uno debajo del otro, de manera que los términos semejantes formen columnas
• Reducir los términos semejantes 

                                         4x4 - 2x3 + 3x2 - 2x + 5
                                         0x4 + 5x3 -   x2 +2x + 0
                                        _____________________
                                          4x4 + 3x3 + 2x2 +  ....5

En la Sustracción se suma al minuendo el opuesto del sustraendo
Ejemplo 
              Restar  Q (x) = 5x3  +2x    De    P(x) = 4x4 - 2x3 + 3x2 - 2x + 5


Recuerda la palabra "restar" identifica al sustraendo; por lo tanto hallamos el opuesto de Q (x)


 - Q(x) = - 5x3 + x2 - 2 x  luego seguimos las mismas indicaciones anteriores 

• Ordenar los polinomios 
• Escribir uno debajo del otro, de manera que los términos semejantes formen columnas
• Reducir los términos semejantes 
•                                          4x4 - 2x3 + 3x2 - 2x + 5
                                           0x4 - 5x3 +  x2  - 2x + 0
                                          _____________________
                                            4x4 - 7x3 + 4x2 - 4 x +5

VALOR NUMÉRICO DE UN POLINOMIO

 El valor numérico de un polinomio es el resultado que obtenemos al sustituir la variable x por un número cualquiera.

P(x) = 2x³ + 5x - 3 ; x = 1

P(1) = 2 · 1³ + 5 · 1 - 3 = 2 + 5 - 3 = 4 

. 

Completa la siguiente tabla:

x, y	7x – 5y	x + 3y	3y – 2xy + 8
x = 0, y = 1
x = -1, y = 1
x = -1, y = -1
x = 2, y = -1
x = -2, y = 0
x = 4, y = -2

2. Completa la siguiente tabla:

a	b	a2 - b3	0,5a + 0,3b
-2	5
0,1	-0,2
0	-1
-4	-3
-0,2	0,2
5	10

                                    

3. Calcula el valor numérico de las siguientes expresiones algebraicas cuando x = 2, 5, 7, -3 y 0.

a) 2x +1       b) (2x)² – 1       c) (2x + 3)²       d) 2 (3x)²