Ecuación de la Recta: Punto-Pendiente

Forma punto-pendiente

La ecuación y = mx + n 
que hemos visto se denomina forma explícita de la ecuación de la recta, y nos permite hallar dicha ecuación cuando conocemos la pendiente y la ordenada en el origen.

Cuando sólo conocemos la pendiente, m, y las coordenadas de otro de los puntos de la recta, (x_o,y_o), su ecuación es

y - y_o = m (x - x_o)

Esta ecuación recibe el nombre de forma punto-pendiente de la ecuación de la recta. En el video se explica cómo se obtiene.

Pendiente de una Recta, Teoría

En la ecuación principal de la recta 

                                        y = mx + b

el valor de

 m corresponde a la pendiente de la recta 
 b es el coeficiente de posición o punto de intercepción con el eje de las ordenadas

La pendiente permite obtener el grado de inclinación que tiene una recta, mientras que el coeficiente de posición señala el punto en que la recta interceptará al eje de las ordenadas.

Ejemplo: La ecuación y = 4x + 7 tiene pendiente 4 y coeficiente de posición 7, lo que indica que interceptará al eje y en el punto (0,7).

Cuando se tienen dos puntos cualesquiera (x₁,y₁) y (x₂,y₂), la pendiente queda determinada por el cociente entre la diferencia de las ordenadas de dos puntos de ella y la diferencia de las abscisas de los mismos puntos, o sea

Una recta que es paralela al eje x, tiene pendiente 0.

Observemos el video para clarificar los conceptos

APLICANDO LO APRENDIDO

Tenemos un grupo de problemas, con los cuales puedes practicar y ver tus avances en matemáticas, el texto tiene hipervínculos, que te llevarán alas páginas de éste blog que te brindarán ayuda para resolver los casos presentados.Espero que te sirva.

Razones y proporciones ¿ que es una razon y una proporcion ?

Entender ¿Qué es una razón se te puede hacer difícil, pero observa éste video, es el mejor que he conseguido en la red
                         


Ahora sí, podrás entender con mayor facilidad la siguiente situación significativa

Por  mi cumpleaños recibí de regalo S/ 150 de los cuáles  ahorré S/ 100, y mi hermana recibió S/ 120 y ahorró S/ 80 ¿Quién ahorró en mayor proporción?

Primero relacionamos las cantidades usando razones en su forma simplificada

Yo ahorro S/ 100 soles de los S/ 150 que recibo         

  100/ 150 =    2 / 3    La razón es : 2 de 3. Ahorré S/ 2 soles  por cada S/ 3 que recibí.

Trabajamos ahora la razón para lo que ahorró mi hermana

 Ella ahorra S/ 80 soles de lo  S/ 120 que recibe     

   80/ 120 =    2 / 3    La razón es : 2 de 3.   Ahorró S/ 2 soles  por cada S/ 3 que recibió.

Tanto mi hermana como yo ahorramos S/ 2 soles de cada  S/ 3 soles que recibimos.

Observamos que tanto mi hermana como yo ahorramos en la misma proporción; es decir

100 / 150 es equivalente a  80 /  120 entonces 100 /  150 =  80 / 120 se lee: 100 es a 150 como 80 es a 120

Comprobaremos que las dos razones forman una proporción    100 /  150 =  80 / 120 entonces tenemos 100 x 120 = 150 x 80  El producto de los extremos es igual al producto de los medios

Dadas dos razones  a / b  y  c / d  se llama proporción a la expresión a / b = c /d donde a x d = b x c

                                  

                                   

INTERÉS COMPUESTO

Recordemos la situación anterior de Alberto y su esposa solicitan un préstamo de S/ 18 000 a una TCEA de 12% por un período de 5 años lo trabajaremos al interés compuesto que es lo que cobran los bancos.
Muy bien ahora recuerda que  en el Interés Compuesto; el Interés se reinvierte y llega a formar parte del capital, lo que significa que el Capital varía en cada período ( en éste caso en cada año), por lo que el interés también va a cambiar y será mayor cada período, pues se calcula de un monto mayor de capital.
Veamos como lo calculamos. como la tasa de interés es el 12 %, calculamos el interés a pagar el primer año
 1       (18 000 x 12) / 100 = 2160 para el segundo año a éste interés le sumamos el capital inicial
 2       18 000 + 2 160 = 20 160 y a éste resultado le sacamos el 12 %  (20160 x 12 ) / 100  = 2 419,2 y               repetimos. a éste resultado le sumamos el capital anterior.
 3       20 160 + 2 419, 2 = 22 579,2 el interés sería ( 22 579,2 x 12 ) / 100 = 2 709, 50
 4       22 579,2 + 2 709, 5 = 25 288, 7 el interés sería ( 25 288, 7 x 12) / 100 = 3 034, 64

y se va repitiendo hasta completar el período que te han solicitado, te darás cuenta que el monto a pagar será mucho mayor que el calculado anteriormente.

Existen fórmulas que harán mucho mas sencillo éstos cálculos ya las veremos mas adelante en clase.

AÑOS	1	2	3	4	5	...	15	total
Interés (12%)	2160	2419,2	2709,5	3034,64
Capital Inicial
Capital Final (Monto)

INTERÉS SIMPLE

Si es muy difícil para tí comprender como se saca el interés simple; iremos paso a paso.Trabajaremos con una situación significativa:

Alberto y su esposa cuentan con una casa propia . Su propiedad, ubicada en el distrito de Miraflores, está a medio construir . Les falta terminar el primer piso, los acabados y quieren levantar un segundo nivel. Para ello han pensado en un préstamo, el que financiarán hipotecando el mismo inmueble . 

En la región y el país, diferentes bancos otorgan préstamos hipotecarios. Estos créditos son pagaderos en más de 10 años, su tasa de interés es preferencial (menos del 15% anual) y se deja como prenda la propiedad que se compra o mejora .

 Supongamos que Alberto y su esposa piden un préstamo S/ 18 000 a una tasa de interés de 12 % anual ¿Cuánto pagará de interés después de 15 años?

Primero trabajaremos como si el banco les cobra con Interés Simple

Qué es lo que necesitas conocer para sacar el interés Simple?

Pues Debes conocer :

el Capital ( en éste caso el dinero que pides en  préstamo S/ 18 000)

La tasa de interés ( 12 % anual)

el Tiempo (15 años)

también debes recordar que en el Interés Simple el capital Inicial no varía, que el interés que pagas siempre será el mismo por que no se reinvierte y porque  se calcula del mismo capital. 

Existen diferentes maneras de sacar el interés Simple, lo haremos lo mas sencillo para que entiendas

Como el capital es de 18 000 calcularemos su 12 %, podemos usar la regla de tres simple:

(18 000 x 12 ) / 100  y obtendremos  2160 que representa el interés anual que pagarán;
como ellos van a pagarlo en 15 años lo multiplicamos por 15 es decir  2160 x 15 = 32 400 que es lo que pagarían de intereses Alberto y su esposa por los 15 años.
al finalizar los 15 años el total a pagar sería el Capital Inicial que les prestaron ( 18 000 ) mas los intereses generados ( 32 400), es decir terminaría pagando S/ 50 400.

Otra forma de obtenerlo es multiplicando la tasa de interés por el número de años 12 x15 = 180 % y sacar luego el 180 % de 18 000 es decir   (18 000 x180) / 100 = 32 400 el Total a pagar sería el mismo 18 000 + 32 400 = 50 400

AÑOS	1	2	3	4	5	...	15	total
Interés (12%)	2 160	2 160	2 160	2 160	2 160		2160	32 400
Capital Inicial								18 000
Capital Final (Monto)								50 400

Pero debemos tener en cuenta que los bancos te cobran con un interés compuesto y además cobran tasas y comisiones, por lo que es importante conocer la TCEA  que cobran, eso lo vemos en la siguiente entrada.